Números Factoriales

A veces, cuando voy al cine con mi mujer y mis dos hijos, tenemos ciertas dificultades para decidir cual es la mejor manera de sentarnos. Podríamos simplemente sentar a los niños en las butacas centrales, y nosotros dos en las laterales, pero si hacemos esto, seguramente acaben peleándose en mitad de la película. Quizás lo mejor sea sentarlos lo más alejados posible, cada uno en una butaca lateral, y mi mujer y yo en las centrales, pero claro, existe el riesgo de que la pequeña acabe molestando a otros espectadores. O quizás podríamos optar por sentar al mayor en un extremo, a su lado mi mujer, después la pequeña, y finalmente yo. Pero no, esto tampoco vale, el mayor acabaría protestando porque la pequeña está entre papá y mamá, y él no. En fin, un problema, que al día de hoy, sigue pendiente de solución.

Al hilo de esto me gustaría plantear al lector otro problema, mucho más fácil de resolver, que consiste en contar de cuántas maneras posibles se pueden sentar cuatro personas en cuatro butacas de cine (lo que en matemáticas se conoce como el nombre de permutaciones). Centrémonos primero en la primera butaca. ¿Quiénes nos podríamos sentar en ella? Pues cualquiera de nosotros, es decir, cuatro. Supongamos ahora que alguien (da igual quién porque ya hemos tenido en cuenta que se puede sentar cualquiera de nosotros), ya se ha sentado en la butaca uno. ¿Cuantos de nosotros se pueden sentar en la butaca dos? Pues cualquiera de los tres que quedamos. Igualmente, cuando alguien se sienta en la segunda butaca, en la tercera quedan dos para sentarse. Y finalmente, cuando alguien se sienta en la tercera butaca, sólo queda uno, que ha de sentarse necesariamente en la cuarta butaca. En resumen, nos podemos sentar de 4*3*2*1=24 maneras diferentes. O dicho de otra forma, nos podemos sentar de 4! formas distintas. Lo que me da pie a introducir el concepto de factorial de un número, que es a lo que vamos.

El factorial de un número entero positivo n, escrito como n!, es el producto de todos los números enteros positivos menores o iguales que n. Por ejemplo:

5!=1*2*3*4*5=120

El concepto de factorial es muy útil en matemáticas, entre otras cosas, como hemos visto, para el cálculo de permutaciones. También son muy útiles para pasar el rato en el cine mientras empieza la película. Pero en realidad lo que ahora nos interesa es que los factoriales nos van a permitir introducir nuestro primer algoritmo.

leer(n)
x := 1
repetir desde i:=1 hasta i:=n
    x := x*i
fin repetir
escribir(x)

Para finalizar, a aquellos lectores que se animen a escribir este algoritmo en un ordenador real, les recomiendo que tengan un poco de cuidado con el valor que escogen para n. Hay que tener en cuenta que el cálculo de factoriales pueden dar como resultado números muy grandes, incluso para valores de n pequeños. Por ejemplo, el factorial de 10 es 3.628.880, y el factorial de 20 nos da ya el increíble valor de 2.432.902.008.176.640.000. Aquellos lectores que no les apetezca programar un algoritmo tan simple, también pueden divertirse hallando factoriales con una calculadora. La mayoría de las calculadoras de sobremesa son capaces de llegar hasta 69!. Esto es así porque las calculadoras nos muestran el resultado utilizando notación científica con dos dígitos para el exponente, y 70! requeriría ya de un exponente de tres dígitos.